Question

如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、

B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；

（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數圖

像上。請求出這個反比例函數和此時的直線B′C′的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點G。問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖像上的點P，

使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）-3（2），（3）P′（，5），M′（，0），則點P′為所求的點P，點M′為所求的點M。

【解析】解：（1）作CN⊥x軸于點N。

在Rt△CNA和Rt△AOB中，

∵NC＝OA＝2，AC＝AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。

∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，

又∵點C在第二象限，∴d＝－3。

（2）設反比例函數為，點C′和B′在該比例函數圖像上，

設C′（c，2），則B′（c＋3，1）。

把點C′和Ｂ′的坐標分別代入，得k＝2 c；k＝c＋3。

∴2 c＝c＋3，c＝3，則k＝6。∴反比例函數解析式為。

得點C′（3，2）；B′（6，1）。

設直線C′B′的解析式為y＝ax＋b，把C′、B′兩點坐標代入得，解得。

∴直線C′B′的解析式為。

（3）設Q是G C′的中點，由G（0，3），C′（3，2），得點Q的橫坐標為，點Q的縱坐標為

2＋。∴Q（，）。

過點Q作直線l與x軸交于M′點，

與的圖象交于P′點，若四邊形P′G M′ C′是平行四邊形，則有P′Q＝Q M′，易知點M′的橫坐標大于，點P′的橫坐標小于。

作P′Ｈ⊥x軸于點H，QK⊥y軸于點K，P′H與QK交于點E，作QF⊥x軸于點F，

則△P′EQ≌△QFM′  。

設EQ＝FM′＝t，則點P′的橫坐標x為，點P′的縱坐標y為，

點M′的坐標是（，0）。

∴P′E＝。

由P′Q＝QM′，得P′E²＋EQ²＝QF²＋FM′²，∴，

整理得：，解得（經檢驗，它是分式方程的解）。

∴，，。

∴P′（，5），M′（，0），則點P′為所求的點P，點M′為所求的點M。   

（1）作CN⊥x軸于點N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。

（2）根據平移的性質，用待定系數法求出反比例函數和直線B′C′的解析式。

（3）根據平行四邊形對角線互相平分的性質，取G C′的中點Q，過點Q作直線l與x軸交于M′點，與的圖象交于P′點，求出P′Q＝Q M′的點M′和P′的坐標即可。