Question

已知，在△ABC中，∠C=90°，斜邊長為7

1

2

，兩直角邊的長分別是關于x的方程x2-3(m+

1

2

)x+9m=0
的兩個根，則△ABC的內切圓面積是（　　）

• A、4π
• B、

  3

  2

  π
• C、

  7

  4

  π
• D、

  9

  4

  π

Answer 1

分析：由根與系數的關系可得：x₁+x₂=3（m+

1

2

），x₁•x₂=9m；根據勾股定理得：x₁²+x₂²=（

15

2

）²，則整理得：m²-m-6=0，解關于m的一元二次方程可得m=3；又知直角三角形內切圓的半徑r=

1

2

（a+b-c），則r=

3

2

，所以可求圓的面積為

9

4

π．

解答：解：∵x₁+x₂=3（m+

1

2

），x₁•x₂=9m；
∴x₁²+x₂²=（

15

2

）²，
整理得m²-m-6=0，
解得m=-2或3，
經驗證m=-2不合題意，則m=3；
又∵直角三角形內切圓的半徑r=

1

2

（a+b-c），
∴r=

3

2

，
∴圓的面積為

9

4

π．

點評：本題考查了三角形的內切圓面積計算及根與系數的關系．