Question

（2005•西寧）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的長為4，S_梯形ABCD=9．已知點A、B的坐標分別為（1，0）和（0，3）．
（1）求點C的坐標；
（2）取點E（0，1），連接DE并延長交AB于P試猜想DF與AB之間的關系，并證明你的結論；
（3）將梯形ABCD繞點A旋轉180°后成梯形AB′C′D′，求對稱軸為直線x=3，且過A、B′兩點的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的性質，易得點C到X，Y軸的距離，進而可得C的坐標；
（2）根據三角函數的定義求出有tan∠FDA與tan∠BAO值，進而可得DF⊥AB；
（3）根據題意，設出其方程，將AB的坐標代入可得ac的值，化簡可得拋物線解析式．
解答：解：（1）根據題意，點A、B的坐標分別為（1，0）和（0，3）易得OB=3，BC=2，
可得C到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，
故C（-2，3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
根據題意，易得tan∠FDA==，
同時可得tan∠BAO=-=-3，
有tan∠FDA×tan∠BAO=-1，
故DF⊥AB．

（3）根據題意，設其方程為y=a（x-3）²+c，
同時有A（1，0），（5，0），
將其代入方程可得a=1，c=-4，
化簡可得y=x²-6x+5，
故所求的拋物線解析式為y=x²-6x+5．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．