Question

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂是等圓，它們相交于A、B兩點，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直徑，直線CB交⊙O₁于D，E為AB延長線上一點，連接DE．
（1）請你連接AD，證明：AD是⊙O₁的直徑；
（2）若∠E=60°，求證：DE是⊙O₁的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑對的圓周角是直角得到∠ABC是直角，則∠ABD也是直角，故弦AD是直徑．
（2）根據已知可求得∠ADE=90°又AD是直徑，從而得到DE是⊙O₁的切線．
解答：證明：（1）
∵AC是⊙O₂的直徑，AB⊥DC，
∴∠ABD=90°，
∴AD是⊙O₁的直徑．

（2）證法一：∵AD是⊙O₁的直徑，
∴O₁為AD中點
．連接O₁O₂；
∵點O₂在⊙O₁上，⊙O₁與⊙O₂的半徑相等，
∴O₁O₂=AO₁=AO₂，
∴△AO₁O₂是等邊三角形，
∴∠AO₁O₂=60°．
∵O₁為AD中點，O₂為AC中點，
∴O₁O₂∥DC，
∴∠ADB=∠AO₁O₂=60°．
∵AB⊥DC，∠E=60，
∴∠BDE=30，
則∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°，
∴DE是⊙O₁的切線．
證法二：連接O₁O₂；
∵點O₂在⊙O₁上，⊙O₁與⊙O₂的半徑相等，
∴點O₁在⊙O₂，
∴O₁O₂=AO₁=AO₂，
∴∠O₁AO₂=60°．
∵AB是公共弦，
∴AB⊥O₁O₂，
∴∠O₁AB=30°．
∵∠E=60°，
∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°．
∴DE是⊙O₁的切線．
點評：本題利用了直徑對的圓周角是直徑，等邊三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，直角三角形的性質，切線的判定求解．