Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=1，且∠A=36°．∠ABC的平分線BD交AC于點D，則cos36°=

5 +1

4

（結果保留根號）．

Answer 1

分析：易證得△CBD∽△CAB，然后設AD=x，則BC=x，CD=1-x，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AD的長，作DE⊥AB，垂足為E，可得AE=

1

2

AB，在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

，即可求得答案．

解答：解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴CB²=CA•CD，
設AD=x，則BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（不合題意，舍去），
∴AD=

5 -1

2

，
作DE⊥AB，垂足為E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

；
在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

=

5 +1

4

．
故答案為：

5 +1

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．