Question

（2001•青海）已知，四邊形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
分析：要證四邊形ABCD是等腰梯形，因為AB=DC，所以只要證四邊形ABCD是梯形即可；又因為AD≠BC，故只需證AD∥BC即可；要證AD∥BC，現有圖所示四種添作輔助線的方法，請任意選擇其中兩種圖形，對原題進行證明．

Answer 1

【答案】分析：此處選擇證A、D兩種情況，A）過點A作AE∥DC，交BC邊于點E，根據已知可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，從而得到∠ABC=∠DCB，根據平行線的性質可得到∠DCB=∠AEB，從而推出AE=AB=DC，根據有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形ADCE為平行四邊形，從而推出AD∥EC即AD∥BC，又因為AD≠BC，AB=DC，所以四邊形ABCD是等腰梯形．
D）同理可證明得四邊形ABCD是等腰梯形．
解答：此處選擇證A、D兩種情況．
A）證明：過點A作AE∥DC，交BC邊于點E，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AE∥DC，
∴∠DCB=∠AEB．
∴∠AEB=∠ABC．
∴AE=AB=DC．
∴四邊形ADCE為平行四邊形．
∴AD∥EC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

D）證明：過點D作DG∥AC，交BC延長線于點G，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ACB=∠DBC．
∵DG∥AC，
∴∠ACB=∠DGC．
∴∠DBC=∠DGC．
∴DG=DB=AC．
∴四邊形ADGC為平行四邊形．
∴AD∥GC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定及等腰梯形的判定的理解及掌握情況．