Question

（2010•同安區質檢）已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A，B的坐標，可用待定系數法求出函數的解析式．
（2）①QP其實就是一次函數與二次函數的差，二次函數的解析式在（1）中已經求出，而一次函數可根據B，C的坐標，用待定系數法求出．那么讓一次函數的解析式減去二次函數的解析式，得出的新的函數就是關于PQ，x的函數關系式，那么可根據函數的性質求出PQ的最大值以及相對應的x的取值．
（3）分三種情況進行討論：
當∠QOA=90°時，Q與C重合，顯然不合題意．因此這種情況不成立；
當∠OAQ=90°時，P與A重合，因此P的坐標就是A的坐標；
當∠OQA=90°時，如果設QP與x軸的交點為D，那么根據射影定理可得出DQ²=OD•DA．由此可得出關于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數式中即可得出P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴，
解得：，
∴所求拋物線的函數表達式是y=x²-x+2．

（2）①∵當x=0時，y=2，
∴點C的坐標為（0，2）．
設直線BC的函數表達式是y=kx+b．
則有，
解得：．
∴直線BC的函數表達式是y=-x+2．
∵0＜x＜6，點P、Q的橫坐標相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-x+2）-（x²-x+2）
=-x²+x
=-（x-3）²+1
∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．

②解：當∠OAQ=90°時，點P與點A重合，
∴P（3，0）
當∠QOA=90°時，點P與點C重合，
∴x=0（不合題意）
當∠OQA=90°時，
設PQ與x軸交于點D．
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD．
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA．
∴，即DQ²=OD•DA．
∴（-x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=，x₂=，
∴y₁=×（）²-+2=；
y₂=×（）²-+2=；
∴P（，）或P（，）．
∴所求的點P的坐標是P（3，0）或P（，）或P（，）．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，用數形結合的思想來求解是解題的基本思路．