Question

已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-1（如圖1）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）P是y軸上一點，若△PBC與△BOC相似，求點P的坐標；
（3）連接AD、BD（如圖2），點M是AD上的一個動點，過點M作MN∥AB交BD于點N，把△DMN沿MN折疊得△D′MN，設△D′MN與△ABD的重疊部分的面積為S，請探究：S的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可得：
∴a=-1，
則y=-x²-2x+3
∴y=-（x+1）²+4，
∴頂點D的坐標是（-1，4）；

（2）∵P是y軸上一點，
∴設點P的坐標為（0，y）
又∵∠COB=90°，∠PCB≠90°
∴⒈當∠CPB=90°=∠COB 則點P的坐標為（0，0）此時△CPB∽△COB，
⒉當∠CBP=90°=∠COB時，則△CBP∽△COB，
∴∠OCB=∠PBO，
∴△COB∽△BOP，
∴--------------（7分）
又∵y=-x²-2x+3，
∴點C坐標是（0，3）、點B的坐標是（1，0）
∴，
∴
∴點P的坐標是（）-------------（9分）

（3）設DM=x，作DE⊥AB，垂足為E，交MN于點F，
∵點D（-1，4）
∴
①當時（圖1），
由折疊可知，
∵MN∥AB，
∴△DMN∽△DAB
∴
即，
∴
∴------------------（10分）
∴當時，S_max=2；--------------------（11分）
②當時，如圖2，則S=S_梯形MNGK
由折疊可知：∠DMN=∠D′MN，
又∵MN∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=
∴
由△D′KG∽△D′MN得，
∴
又∵
∴
∴=------------（12分）
∴
又∵
∴當時 ，------------------------------------（13分）
綜合上面分析可知：．------------------------------（14分）
分析：（1）根據其對稱軸為x=-1，求得a的值，代入函數關系式即可求得其頂點坐標；
（2）設出p點的坐標，利用兩三角形相似得到有關的方程，解得后即可求得p點的坐標；
（3）設DM=x，作DE⊥AB，垂足為E，交MN于點F，求得線段DA的長，分當時和當時兩種情況求得重疊部分的最大面積即可．
點評：本題主要考查了二次函數的性質，三角形相似的性質，梯形的面積公式，用待定系數法求二次函數的解析式等知識點，能綜合運用這些知識解題是解決本題的關鍵．難點是（3）小題的求法，巧妙地運用了分類討論思想．