Question

某農戶計劃利用現有的一面墻再修四面墻，建造如圖所示的長方體水池，培育不同品種的魚苗．他已備足可以修高為1.5m、長18m的墻的材料準備施工，設圖中與現有一面墻垂直的三面墻的長度都為xm，即AD=EF=BC=xm．（不考慮墻的厚度）
（1）若想水池的總容積為36m³，x應等于多少？
（2）求水池的總容積V與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）若想使水池的總容積V最大，x應為多少？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）這個水槽是個長方體，我們先看這個矩形的面積，有了AD、EF、BC的長，因為材料的總長度是18m，因此這個矩形的長應該是18-3x，又知道寬為x，又已知了長方體的高，因此可根據長×寬×高=36m³來得出關于x的二次方程從而求出x的值．
（2）和（1）類似，只需把36立方米換成V即可．
（3）此題是求二次函數的最值，可以用配方法或公式法，來求出此時x、y的值．
解答：解：（1）∵AD=EF=BC=x，
∴AB=18-3x
∴水池的總容積為1.5x（18-3x）=36，
即x²-6x+8=0，解得：x=2或4
答：x應為2m或4m

（2）由（1）知V與x的函數關系式為：
V=1.5x（18-3x）=-4.5x²+27x，
x的取值范圍是：0＜x＜6

（3）V=-4.5x²+27x=-（x-3）²+
∴由函數圖象知：當x=3時，V有最大值40.5
答：若使水池的總容積最大，x應為3，最大容積為40.5m³．
點評：本題主要考查了二次函數的應用，正確的表示出長方體的體積是解題的關鍵．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好．