Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；

（2）求證：∠MPB＝90°－ ∠FCM．[來源:ZXXK][來源:學|科|網Z|X|X|K]

 

Answer 1

【答案】

（1）連結MD

∵點E是DC的中點，ME⊥DC  ∴MD=MC

又∵AD=CF,MF=MA  ∴△AMD≌△FMC

∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC，∠ABC＝90°

∴∠BAD＝90°       ∴∠MAB＝30°

在Rt△AMB中，∠MAB＝30°

∴BM=AM．,即AM=2BM

 

(2)∵△AMD≌△FMC  ∴∠ADM=∠FCM

∵AD∥BC         ∴∠ADM=∠CMD

∴∠CMD=∠FCM

∵MD=MC,ME⊥DC

∴∠DME==∠CME=∠CMD

∴∠CME=∠FCM

在在Rt△MBP中，∠MPB＝90°-∠CME=90°-  ∠FCM

【解析】（1）連接MD，由于點E是DC的中點，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC，根據全等三角形的性質可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；

（2）利用（1）的結論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質即可得到∠CME=∠FCM，再根據已知條件即可解決問題．