Question

如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒1個單位的速度分別從點A、C同時出發，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．
（1）點B的坐標為______；用含t的式子表示點P的坐標為______；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜6）；并求t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA=6，AB=4，易得點B的坐標為（6，4）；由圖可得，點P的橫坐標=CN=t，縱坐標=4-NP，NP的值可根據相似比求得；
（2）由（1）的結論易得△OMP的高為t，而OM=6-AM=6-t，再根據三角形的面積公式即可求得S與t的函數關系式，再由二次函數的最值求法，求得t為何值時，S有最大值；
（3）由（2）求得點M、N的坐標，從而求得直線ON的函數關系式；設點T的坐標為（0，b），可得直線MT的函數關系式，解由兩個關系式組成的方程組，可得點直線ON與MT的交點R的坐標；由已知易得S_△OCN=×4×3=6，∴S_△ORT=S_△OCN=2；然后分兩種情況考慮：①當點T在點O、C之間時，②當點T在點OC的延長線上，從而求得符合條件的點T的坐標．
解答：解：（1）延長NP交OA于H，
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點B的坐標為（6，4）；
由圖可得，點P的橫坐標=0H=CN=t，縱坐標=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：t，
∴NP=4-t，
∴點P的縱坐標=4-NP=t，
則點P的坐標為（）；
（其中寫對B點得1分）（3分）

（2）∵S_△OMP=×OM×，（4分）
∴S=×（6-t）×=+2t．
=（0＜t＜6）．（6分）
∴當t=3時，S有最大值．（7分）

（3）存在．
由（2）得：當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），
則直線ON的函數關系式為：．
設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數關系式為：，
解方程組得，
∴直線ON與MT的交點R的坐標為．
∵S_△OCN=×4×3=6，
∴S_△ORT=S_△OCN=2．（8分）
①當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR₁T₁，如圖，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，
則S_△OR1T1=RD₁•OT=••b=2．
∴3b²-4b-16=0，b=．
∴b₁=，b₂=（不合題意，舍去）
此時點T₁的坐標為（0，）．（9分）
②當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設MT交CN于點E，由①得點E的橫坐標為，作R₂D₂⊥CN交CN于點D₂，則
S_△R2NE=•EN•R₂D₂=••==2．
∴b²+4b-48=0，b=．
∴b₁=，b₂=（不合題意，舍去）．
∴此時點T₂的坐標為（0，）．
綜上所述，在y軸上存在點T₁（0，），T₂（0，）符合條件．（10分）
點評：此題綜合性較強，考查了點的坐標、平行線分線段成比例、二次函數的最值、一次函數的應用等知識點．