Question

（2012•廣元）如圖，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=

4

3

．以O為坐標原點，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系，設D、E分別是線段AC、OC上的動點，它們同時出發，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動．設運動時間為t（秒）
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含t的代數式表示點D的坐標；
（3）在t為何值時，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的長以及∠ACB的正弦值，能求出OC的長，即可確定點C的坐標，利用待定系數法能求出直線AC的解析式．
（2）過D作AO、OC的垂線，通過構建相似三角形來求出點D的坐標．
（3）用t表示出OD、DE、OE的長，若△ODE為直角三角形，那么三邊符合勾股定理，據此列方程求出對應的t的值．
（4）根據（3）的結論能得到t的值，△ODE中，當OD⊥x軸或DE垂直x軸時，都不能確定“一條對稱軸平行于y軸的拋物線”，余下的情況都是符合要求的，首先得D、E的坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）根據題意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
設直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點坐標，得：
4k+3=0，k=-

3

4

∴直線AC：y=-

3

4

x+3．

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F、H，則有△ADF∽△DCH∽△ACO
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤

5

3

），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=

4

5

AD=

12t

5

，AF=

3

5

AD=

9t

5

，DH=3-

9t

5

，HC=4-

12t

5

，
∴D（

12t

5

，3-

9t

5

）．

（3）CE=t，E（4-t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=|（4-

12t

5

）-t|=|4-

17t

5

|
則OD²=DH²+OH²=（3-

9t

5

）²+（

12t

5

）²=9t²-

54

5

t+9，
DE²=DH²+HE²=（3-

9t

5

）2+（4-

17t

5

）²=

74

5

t²-38t+25，
當△ODE為Rt△時，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
則（9t²-

54

5

t+9）+（

74

5

t²-38t+25）=（4-t）²  ①，
或（9t²-

54

5

t+9）+（4-t）²=

74

5

t²-38t+25      ②，
或（

74

5

t²-38t+25）+（4-t）²=9t²-

54

5

t+9      ③，
上述三個方程在0≤t≤

5

3

內的所有實數解為：
t₁=

15

19

，t₂=1，t₃=0，t₄=

20

17

．

（4）當DO⊥OE，及DE⊥OE時，即t₃=0和t₄=

20

17

時，以Rt△ODE的三個頂點不能確定對稱軸平行于y軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線．
當t₂=1時，D（

12

5

，

6

5

），E（3，0），因為拋物線過O（0，0），
所以設所求拋物線為y=ax²+bx，將點D、E坐標代入，求得 a=-

5

6

，b=

5

2

，
∴所求拋物線為：y=-

5

6

x²+

5

2

x
（當t₁=

15

19

時，所求拋物線為y=-

19

30

x²+

61

30

x）．

點評：本題主要考查了二次函數的應用、相似三角形的性質、勾股定理等重要知識；后面兩問的難度較大，注意分類進行討論．