Question

【題目】如圖，O為原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD，某拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D、點E（1，1）．

（1）若該拋物線過原點O，則a=；
（2）若點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，要使得符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【解析】解：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標是（3，1），

把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，

得 ，

解得a=﹣ ，

故答案為：﹣ ；

（ 2 ）如圖2，

∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則點Q在x軸的上、下方各有兩個．

（i）當(dāng)點Q在x軸的下方時，直線OQ與拋物線有兩個交點，滿足條件的Q有2個；

（ii）當(dāng)點Q在x軸的上方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點在y軸的負半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，點Q在x軸的上、下方各有兩個，

（i）當(dāng)點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個；

（ii）當(dāng)點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才兩個．

根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時直線OQ的斜率為﹣ ，則直線OQ的解析式為y=﹣ x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）

綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣ 或a＞ ．

故答案為：a＜﹣ 或a＞ ．

（1）過點D作DF⊥x軸于點F，易證△AOB≌△BFD，從而求出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式可得a的值；
（2）把D、E的坐標代入拋物線y=ax2+bx+c可得y=ax2﹣4ax+3a+1．然后分拋物線y=ax2+bx+c開口向下和開口向上來討論求解.