Question

如圖：在平面直角坐標系中，將長方形紙片ABCD的頂點B與原點O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB=3，AD=6，將紙片沿過點M的直線折疊（點M在邊AB上），使點B落在邊AD上的E處（若折痕MN與x軸相交時，其交點即為N），過點E作EQ⊥BC于Q，交折痕于點P．
（1）①當點M分別與AB的中點、A點重合時，那么對應的點P分別是點P₁、P₂，則P₁ ______、P₂ ______；②當∠OMN=60°時，對應的點P是點P₃，求P₃的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c，是經過（1）中的點P₁、P₂、P₃，試求a、b、c的值；
（3）在一般情況下，設P點坐標是（x，y），那么y與x之間函數關系式還會與（2）中函數關系相同嗎（不考慮x的取值范圍）？請你利用有關幾何性質（即不再用P₁、P₂、P₃三點）求出y與x之間的關系來給予說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①點M為AB的中點時，點B與點A重合，即點E與點A重合，則點P為AO的中點，即可得到點P₁的坐標，點M與點A重合時，點Q、P、N重合，AE=AO=3，從而得到點P₂的坐標；
②根據直角三角形兩銳角互余求出∠MNO=30°，根據翻折對稱性求出∠QNE=60°，然后解直角三角形求出QN、PQ的長度，再利用直角三角形的兩銳角互余求出∠PEN=30°，連接PO，利用翻折對稱性求出∠PON=∠PEN=30°，從而得到∠PON=∠MNO，根據等腰三角形三線合一的性質可得OQ=QN，從而得到點P₃的坐標；
（2）利用待定系數法求函數解析式列式求解即可；
（3）連接PO，根據翻折對稱性可得PE=PO，然后用點P的坐標表示出PO，在Rt△POQ中，根據勾股定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）①當M與AB的中點重合時，B與A重合，即E與A重合，則點P為OA的中點，
∵AB=3，
∴P₁（0，），
當M與A重合時，Q、P與N重合，
此時，AE=AO=3，
∴P₂（3，0）；
故答案為：（0，），（3，0）；

②當∠OMN=60°時，∠MNO=90°-60°=30°，
根據翻折對稱性，∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°，
在Rt△QNE中，tan∠QNE=，
即=，
解得QN=，
在Rt△PQN中，PQ=QN•tan∠MNO=tan30°=×=1，
連接PO，根據對折的性質，∠PON=∠PEN=90°-60°=30°，
∴∠PON=∠MNO，
∵EQ⊥BC，
∴OQ=QN=，
∴點P₃（，1）；

（2）∵拋物線經過點P₁（0，），P₂（3，0），P₃（，1），
∴，
解得，
故，a、b、c的值分別為a=-，b=0，c=；

（3）相同．
理由如下：如圖，連接OP，根據對折的對稱性，△PON≌△PEN，
則PE=OP，
∵AB=3，
∴OP+PQ=EQ=AB=3，
∴OQ=x，PQ=y，PO=3-y，
在Rt△OPQ中，根據勾股定理，x²+y²=（3-y）²，
整理，x²+y²=9-6y+y²，
y=-x²+．
點評：本題是二次函數的綜合題型，主要考查了折疊的性質，解直角三角形，待定系數法求二次函數解析式，勾股定理，難度不是很大，（1）中利用角度的相等求出相等的角，是利用等腰三角形三線合一的性質求解的關鍵，也是解題的突破點．