Question

如圖，直線與x軸，y軸分別相交于B、A，點M為雙曲線上的一點，且△AMB是以AB為底的等腰直角三角形．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）過M點作MC⊥x軸，MD⊥y軸，垂足分別為C、D；求證：△AMD≌△BMC；
（3）求k值；
（4）問雙曲線上是否存在一點Q，使？若存在，求Q點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x-1與x軸，y軸分別相交于B、A，
∴當x=0時，y=-1；當y=0時，x=5，
∴A點坐標的坐標為（0，-1），B點坐標為（5，0）；

（2）∵△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，
，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；

（3）∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四邊形OCMD是矩形，
∵△AMD≌△BMC，
∴AD=BC，DM=CM，
∴四邊形OCMD是正方形，
∴OC=OD，
∵OA=1，OB=5，
設OD=x，
則AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴點M的坐標為：（2，2），
∴k=xy=4；

（4）存在．
∵k=4，
∴反比例函數的解析式為：y=，
設Q點的坐標為：（a，），
∴S_△OBQ=•OB•=×5×=，S_△AOQ=•OA•a=×1×a=a，
∵，
∴4S_△OBQ=5S_△AOQ，
即4×=5×a，
解得：a=±4，
∵a＞0，
∴a=4，
∴Q點的坐標為（4，1）．
分析：（1）由直線與x軸，y軸分別相交于B、A，即可求得A、B兩點坐標；
（2）由△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，可求得AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，易求得∠MAD=∠MBC，即可利用AAS判定：△AMD≌△BMC；
（3）由△AMD≌△BMC，可得AD=BC，DM=CM，即可得OC=OD，又由OA=1，OB=5，即可求得點M的坐標，繼而求得k的值；
（4）首先設點Q的坐標為（x，），根據題意即可用x表示出△OBQ與△AOQ的面積，又由，即可求得Q點坐標．
點評：此題考查了反比例函數的應用、待定系數法求函數的解析式、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．