Question

【題目】（閱讀理解）

已知：如圖，等腰直角三角形中，，是平分線，交邊于點.

求證：.

證明：在上截取，連接，

則由已知條件易知：.

∴，

又∵，∴是等腰直角三角形，

∴ ∴.

（數學思考）

現將原題中的“是平分線，交邊于點”換成“是的外角平分線，交邊的延長線于點”，如圖，其他條件不變，請你猜想線段之間的數量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】線段之間的數量關系:DB=AE+AC=AB+AC

【解析】

在CA的延長線上截取AE=AB，連接DE，由角平分線的性質就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED=∠ABD=90°，DB=DE，就可以得出DB=AB+AC.

解：如圖，在CA的延長線上截取AE=AB，連接DE．

如圖，在CA的延長線上截取AE=AB，連接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，

，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=∠ABD=90°，
∴∠EDC=180°-∠AED -∠C=180°-90°-45°=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC.