Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、點C同時從點O出發，分別以每秒2個單位、1個單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運動，以OA、OC為邊作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）為斜邊端點作直角△PMN，點P在第一象限，且tan∠PMN=

1

2

，當點A出發時，△PMN同時以每秒0.5個單位的速度沿x軸向右平移．設點A運動的時間為t秒，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求運動前點P的坐標；
（2）求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）若在運動過程中，要使對角線AC上始終存在點Q，滿足∠OQM=90°，請直接寫出符合條件的t的值或t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點P作PH⊥x軸于H，可求出MH的長即點P的橫坐標，再根據tan∠PMN=

1

2

，及勾股定理便可求出點P的坐標．
（2）因為點A；點C同時從點O出發，點M（4，0），△PMN同時以每秒0.5個單位的速度沿x軸向右平移，運動t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，
①當0＜OA≤OM，即0＜2t≤

8

3

時，兩圖形無交點；
②當OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t時，即

8

3

＜t≤

16

3

時，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S等于重疊的三角形的面積．
③當OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即

16

3

＜t≤6時，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積減去不重疊的三角形的面積．
④當OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6時，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積．
（3）根據圓周角定理可知，當以OM為直徑的圓與AC有公共點時，公共點即是符合條件的點Q，即可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，
過點P作PH⊥x軸于H．
∵MN=9-4=5，tan∠PMN=

1

2

，
∴PM=2

5

，PN=

5

，
∴PH=2，MH=4，NH=1．
∴P（8，2）．

（2）運動t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4-0.5t．
當0＜t≤

8

3

時，S=0；
當

8

3

＜t≤

16

3

時，S=

9

16

t²-3t+4；
當

16

3

＜t≤6時，S=-

9

4

t²+27t-76；
當t＞6時，S=5．

（3）當以OM為直徑的圓與AC有公共點時，公共點即是符合條件的點Q．
當以OM為直徑的圓與AC相切時，t=

16 5 +24

11

，
∴t的取值范圍是：0＜t≤

16 5 +24

11

．

點評：此題是典型的動點問題，比較復雜，考查了同學們對圓及三角形，矩形，等相關知識的掌握情況，有一定的難度．