Question

如圖，已知AC⊥CB，D、E分別為AC、CB的中點，且CD=CE=15，則△BEG的面積為

1. A.
   50
2. B.
   60
3. C.
   75
4. D.
   90

Answer 1

C
分析：如圖，連接DE、AB．根據三角形的面積公式以及圖形推知S_△ACE=S_△BCD，S_△AGB=S_{四邊形CDGE}．然后由三角形中位線的性質、相似三角形△DEG∽△BAG的面積的比等于相似比的平方證得
S_△BAG=4S_△DGE，最后利用“分割法”知S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+S_△DCE+S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-S_△DCE=150．
解答：解：如圖，連接DE、AB．
∵D、E分別為AC、CB的中點，且CD=CE，
∴AC=2CD，BC=2CE．
又∵AC⊥CB，
∴S_△ACE=CE•AC=×CE•2CD=CE•CD，S_△BCD=CD•BC=×CD•2CE=CE•CD，
∴S_△ACE=S_△BCD，
∴S_△ACE-S_{四邊形CDGE}=S_△BCD-S_{四邊形CDGE}，即S_△ADG=S_△BEG．
又∵S_△AEB=S_△ACE（等底同高的兩個三角形的面積相等），
∴S_△AGB=S_{四邊形CDGE}．
∵D、E分別為AC、CB的中點，
∴DE∥AB，=，
∴△DEG∽△BAG，
∴==，
∴S_△BAG=4S_△DGE，
∴S_△DCE=S_△DGE．
∴S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+S_△DCE+S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-S_△DCE=×2CE•2CD-××CD•CE=×15×15=150，
則S_△BEG=75．
故選C．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質．解答該題時，注意利用“分割法”來求△BEG的面積．