Question

Rt△ABC在平面直角坐標系中的初始位置如圖1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，點A在x軸上由原點O開始向右滑動，同時點B在y軸上也隨之向點O滑動，如圖2所示；當點B滑動至點O重合時，運動結束．在上述運動過程中，⊙G始終以AB為直徑．

（1）試判斷在運動過程中，原點O與⊙G的位置關系，并說明理由；
（2）設點C坐標為（x，y），試求出y與x的關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）根據對問題（1）、（2）的探究，請你求出整個過程中點C運動的路徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點O始終在⊙G上；
（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自變量x的取值范圍是 ≤x≤3 ；
（3）利用勾股定理可求得，點C運動的路程s=3 ．
解答：解：（1）原點O與⊙G的位置關系是：點O在⊙G上；
如圖3，連接OG，∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO=AB=半徑，故原點O始終在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
連接OC，過點C作CD⊥x軸于點D，如圖4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y與x的關系式是：．
自變量x的取值范圍是．

（3）∵由（2）中的結論可知，點C在與x軸夾角為30°的射線上運動．
∴如圖5，點C的運動路徑為：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖6，點C的運動路徑為：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．