Question

如圖，點A（-2，0），點B（0，1），雙曲線y=

4

x

（x＞0），
（1）將線段AB繞點O順時針旋轉90°，得到線段A₁B₁，寫出A₁、B₁的坐標；
（2）將線段A₁B₁平移，對應點A₂，B₂落在雙曲線上，求出點A₂，B₂的坐標；
（3）將雙曲線繞點M旋轉90°，旋轉后的雙曲線是否能同時經過A、B兩點？若能，求出點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意旋轉后很容易得；
（2）設A₂，根據平移的性質得B₂，求得a值，從而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②對應點的連線經過旋轉中心，求得點D．用同樣方法求出直線A₂M的解析式，求得點M．
（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點將AB旋轉90度與A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂為一邊，M為中心，構造正方形，易知點M．

解答：解：（1）（0，2）（1，0）；

（2）∵A₂在雙曲線y=

4

x

（x＞0）上，
設A₂（a，

4

a

），且a＞0，
根據平移的性質得B₂（a+1，

4

a

-2），
∵B₂在雙曲線y=

4

x

（x＞0）上，
∴(a+1)(

4

a

-2)=4，
解得a₁=1，a₂=-2，
經檢驗是方程的根，
∵a＞0，
∴a=1，
∴A₂（1，4）B₂（2，2），

（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點將AB旋轉90度與A₂B₂重合，（1分
又∵若將雙曲線繞某一點旋轉90°，使之同時經過A、B兩點，等同于將AB繞某一點旋轉90度，使A、B兩點同時落在雙曲線上，
①若將AB繞點M旋轉順時針90度，
A與A₂，B與B₂對應，如圖1
連接BB₂接，點M在BB₂的對稱軸上，
∴BM=MB₂，
∵旋轉角∠BMB₂=90°，
∴△BMB₂是等腰直角三角形，
以BB₂為一邊，M為中心，構造正方形，易知M（

3

2

，

1

2

）．
②將AB繞點M旋轉逆時針90度，
∵對應點的連線經過旋轉中心，
∴作AB₂，BA₂若的對稱軸，交于點M，
用相似求出點D（

1

2

，0），直線BD的解析式y=-2x+1，
用同樣方法求出直線A₂M的解析式y=-

1

2

x+

5

2

，
∴M（-1，3），
綜上M（-1，3）或（

3

2

，

1

2

）；　　（兩種情況，分別用兩種方法解僅供參考）；

點評：本題考查了反比例函數的綜合應用，（1）通過旋轉來確定坐標；（2）設A₂，根據平移的性質得B₂，求得a值，從而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②對應點的連線經過旋轉中心，求得點D．進而求得點M．（3）由（1）（2）小題知AB⊥A₂B₂，所以可繞某一點將AB旋轉90度與A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂為一邊，M為中心，構造正方形，易知點M．