Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，∠BAD的平分線AE與BC邊交于點E，點P是線段AE上一定點（其中PA＞PE），過點P作AE的垂線與AD邊交于點F（不與D重合）．一直角三角形的直角頂點落在P點處，兩直角邊分別交AB邊，AD邊于點M，N．

（1）求證：△PAM≌△PFN；

（2）若PA＝3，求AM+AN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】

（1）根據題意證明AP=PF,再根據∠MPN＝90°，∠APF＝90°證明∠MPA＝∠FPN即可；

（2）用勾股定理證明AF，再通過全等三角形證明AM＝NF即可.

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD＝90°

∵∠BAD的平分線AE與BC邊交于點E，

∴∠BAE＝∠EAD＝45°

∵PF⊥AP

∴∠PAF＝∠PFA＝45°

∴AP＝PF

∵∠MPN＝90°，∠APF＝90°

∴∠MPN﹣∠APN＝∠APF﹣∠APN

∴∠MPA＝∠FPN，且AP＝PF，∠MAP＝∠PFA＝45°

∴△PAM≌△PFN（ASA）

（2）∵PA＝3

∴PA＝PF＝3，且∠APF＝90°

∴AF＝＝3

∵△PAM≌△PFN；

∴AM＝NF

∴AM+AN＝AN+NF＝AF＝3