Question

如圖，已知拋物線y＝a(x－t－1)²＋t²(a，t是常數，a≠0，t≠0)的頂點是A，拋物線y＝x²－2x＋1的頂點是B．

(1)判斷點A是否在拋物線y＝x²－2x＋1上，為什么？

(2)如果拋物線y＝a(x－t－1)²＋t²經過點B，

①求a的值；

②這條拋物線與x軸的兩個交點和它的頂點A能否構成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：點A在拋物線y＝x2－2x＋1上，∵拋物線y＝a(x－t－1)2＋t2的頂點為A(t＋1，t2)而當x＝t＋1時，y＝x2－2x＋1＝(t＋1)2－2(t＋1)＋1＝t2∴點A在拋物線y＝x2－2x＋1上 　　(2)①y＝x2－2x＋1的頂點為B(1，0)∵拋物線y＝a(x－t－1)2＋t2經過點B(1，0)， 　　∴a(1－t－1)2＋t2＝0，∴t2(a＋1)＝0∵t≠0∴a＋1＝0∴a＝－1 　　②由拋物線y＝a(x－t－1)2＋t2和x軸的兩個交點與點A能構成直角三角形，此拋物線與x軸的一個交點為B，設另一個交點為C，令y＝0，得－(x－t－1)2＋t2＝0解得x1＝1，x2＝2t＋1∴點B，C的坐標分別為(1，0)(2t＋1，0)由拋物線的對稱性可知，△ABC為等腰直角三角形，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，則AD＝BD，當點C在點B左邊時t2＝1－(t＋1)解得t＝－1或t＝0(舍去)當點C在點B的右邊時，t2＝(t＋1)－1得t＝1或t＝0(舍去)，∴當t＝±1時，拋物線y＝－(x－t－1)2＋t2和x軸的兩個交點與頂點構成直角三角形