Question

在直角坐標系中，拋物線y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

與x軸交于A，B兩點，已知點A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上，且BO=2AO，點C為拋物線的頂點．
（1）求此拋物線的解析式和經過B，C兩點的直線的解析式；
（2）點P在此拋物線的對稱軸上，且⊙P與x軸、直線BC都相切．求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

與x軸交于A，B兩點，且A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上，且BO=2AO．故設A點的坐標為（-a，0），則B點的坐標為（2a，0），其中a＞0．令y=0，那么拋物線的解析式就變成關于x的一元二次方程的解，兩個解分別是-a、2a．利用根與系數的關系寫出

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

，解得a、m的值．拋物線解析式確定，并寫出頂點式，C點的坐標值即可確定．根據兩點B、C的坐標值，求出直線BC的解析式．
（2）首先根據點P在此拋物線的對稱軸上，故設P點的坐標為（1，k）．利用三角形的面積公式與觀察圖形，求得PM的值，根據NP=PM求得P點的坐標值．

解答：解：（1）設A點的坐標為（-a，0），則B點的坐標為（2a，0），其中a＞0．
由題意得一元二次方程0=

4

9

x2+

2

9

mx+

5

9

m+

4

3

，
那么

-a+2a= - 2 9 m - 4 9 -a•2a= 5 9 m+ 4 3 - 4 9

?2m²-5m-12=0，
解得m=-

3

2

（不合題意舍去），
m=4，則a=2，
∴此拋物線的解析式為y=

4

9

(x-1)2-4，
B點的坐標為（4，0）、C點的坐標為（1，-4），
∴經過B，C兩點的直線的解析式為y-0=

-4-0

1-4

(x-4)，
即y=

4

3

x-

16

3

；

（2）∵點P在此拋物線的對稱軸上，故設P點的坐標為（1，k），
設⊙P與x軸、直線BC分別相切于點N、M，連接PB、PM，
在△PBC中，BC=

NB2+NC2

=

32+42

=5，
S△PBC=

1

2

PC•NB=

1

2

BC•PM，
即PM=

[k-(-4)]•3

5

，
∵PM、NP均為圓P的半徑，
∴|k|=

(k+4)•3

5

，
解得k=6（不合題意舍去），k=-

3

2

，
∴P點的坐標為(1，-

3

2

)．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．