Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點E為AD的中點，下列結論正確的個數是（　　）

（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）ABCD=；（4）∠ABE=∠DCE．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

設AD和半圓O相切的切點為F，連接OF，根據切線長定理以及相似三角形的判定和性質逐項分析即可．

設AD和半圓O相切的切點為F，

∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，

∴

∵AB為直徑，

∴AB，CD是圓的切線，

∵AD與以AB為直徑的⊙O相切，

∴AB=AF，CD=DF，

∴AD=AF+DF=AB+CD，故①正確；

如圖1，連接OE，

∵AE=DE，BO=CO，

∴OE∥AB∥CD,OE=(AB+CD)，

∴OE⊥BC，

故②正確；

如圖2，連接AO，OD，

∵AB∥CD,

∴

∵AB，CD，AD是O的切線，

∴

∴

∴

∴∠BAO=∠DOC，

∴△ABO∽△OCD，

∴

∴，故③正確，

如圖1，∵OB=OC，OE⊥BC，

∴BE=CE，

∴∠BEO=∠CEO，

∵AB∥OE∥CD，

∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，

∴∠ABE=∠DCE，故④正確，

綜上可知正確的個數有4個，

故選:D.