Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點M為對角線AC上的一個動點（不與端點A，C重合），過點M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分別為E，F，則四邊形EMFD面積的最大值為（ ）

A.6
B.12
C.18
D.24

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵ME⊥AD，MF⊥DC，

∴∠DEM=90°，∠DFM=90°，

∴四邊形EDFM是矩形；

∴DF=EM，DE=FM，FM∥AD，ME∥CD，

∴△AEM∽△ADC，

∴ = ，

設DF=EM=x，DE=FM=y，

∴ = ，

y=﹣ x+6，

四邊形EMFD面積=xy=x（﹣ x+6）=﹣ （x﹣4）2+12，

故x=4時，四邊形EMFD面積的最大值為12．

所以答案是：B．

【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．