Question

如圖，在銳角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD為直徑的⊙O分別交AB，AC于E，F，連接DE，DF．
（1）求證：∠EAF+∠EDF=180°；
（2）已知P是射線DC上一個動點，當點P運動到PD=BD時，連接AP，交⊙O于G，連接DG．設∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α與∠β有何數量關系？試證明你的結論．[在探究∠α與∠β的數量關系時，必要時可直接運用（1）的結論進行推理與解答]

Answer 1

（1）證明：在圓內接四邊形AEDF中，
AD為直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°
又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°
∴∠EAF+∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD）=180°

（2）解：∠α=2∠β，理由如下：
如圖，
在△ABD與△APD中，
AD⊥BP，且BD=DP，AD=AD
∴△ABD≌△APD（SAS）
∴∠B=∠APD=∠β
在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD=180°，
則∠EAG+2∠β=180°
由（1）知∠EAG+∠EDG=180°，
則∠EAG+∠α=180°
即∠α=2∠β．
分析：（1）由直徑對的圓周角是直角和四邊形的內角和是360度可證得∠EAF+∠EDF=180°；
（2）證得△ABD≌△APD后，可得到∠EAG+2∠β=180°，再由（1）可得∠α=2∠β．
點評：本題第（1）小題實際是圓內接四邊形的性質：對角互補的證明；第（2）小題是它的應用．