Question

（2012•銅仁地區）以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB的最小值是

2

．

Answer 1

分析：證△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB=

2

OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，當OA⊥CD時，OA最小，求出OA的值即可．

解答：解：
∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∵在△COA和△DOB中

∠OCA=∠ODB OC=OD ∠AOC=∠DOB

，
∴△COA≌△DOB，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

2

OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根據垂線段最短，OA⊥CD時，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=

1

2

CF=1，
即AB=

2

，
故答案為：

2

．

點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，正方形的性質，垂線段最短等知識點的應用，關鍵是求出AB=

2

OA和得出OA⊥CD時OA最小，題目具有一定的代表性，有一定的難度．