Question

已知等邊△ABC邊長為a，D、E分別為AB、AC邊上的動點，且在運動時保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設⊙O₁的半徑長為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當⊙O₁與⊙O₂外切時，求x的值；
（4）如圖（2），當D、E分別是AB、AC邊的中點時，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內各邊按圖（2）中箭頭的方向進行滾動，且總是與△ABC的邊相切，當點O₁第一次回到它原來的位置時，求點O₁經過的路線長度？

Answer 1

解：（1）連接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O₁的切線，DE∥BC，
∴MM′過點O₁．同理NN'過點O₂．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四邊形MM′N′N是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O₁和⊙O₂是等圓；

（2）連接O_lB，O_lO₂，O₂C，O_lM′，O₂N′．
易證四邊形O₁BCO₂是等腰梯形，四邊形O₁M′N′O₂是矩形．
在Rt△O₁BM′中，∠0₁BM′=30°，O_lM′=x，
則BM′=x．
∵y=O₁0₂=M′N′，BM′=N′C=x，BC=BM′+M′N′+N′C，
∴y+2=a，
∴y=a-2x，
求得0＜x≤；

（3）當⊙O_l和⊙O₂外切時，O_lO₂=2x，2x=a-2x，
∴x=（-1）；

（4）當DE是△ABC的中位線時，求得x=．
此時BM'=x=a．
⊙O₁的圓心O₁所經過的路線是與△ABC相似，且各邊與△ABC各邊距離為的正三角形．
其邊長為a-a×2=，
∴所求的圓心O₁走過的長度為：×3=a．
分析：（1）根據連接圓的兩條平行切線的切點的線段是直徑，以及切線的性質判定四邊形是矩形，再根據矩形的性質即可證明；
（2）根據30°的直角三角形的性質，分別用圓的半徑表示出BM′和CN′的長，即可寫出y與x的函數關系式；根據y=0，即可求得x的最大值；
（3）根據兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和，再結合（2）中的函數關系式求得x的值；
（4）首先根據等邊三角形的高，結合三角形的中位線定理求得x的值；
再根據⊙O₁的圓心O₁所經過的路線，是與△ABC相似，且各邊與△ABC各邊距離為的正三角形．
結合等邊三角形的性質進行計算．
點評：綜合運用了等邊三角形的性質、矩形的判定和性質以及兩圓的位置關系和數量之間的聯系．