Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，圓D與y軸相切于點C（0，4），與x軸相交于A、B兩點，且AB=6．

（1）D點的坐標是 ， 圓的半徑為；
（2）求經過C、A、B三點的拋物線所對應的函數(shù)關系式；
（3）設拋物線的頂點為F，試證明直線AF與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點N，使△CBN面積最大，最大面積是多少？并求出N點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（5，4）；5
（2）

解：如圖1所示：

∵D（5，4），

∴E（5，0）．

∴A（2，0）、B（8，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），將點C的坐標代入得：16a=4，解得：a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+4．

（3）

解：∵y= x2﹣ x+4，

∴拋物線的頂點坐標F（5，﹣ ）．

∴DF=4+ = ，AF= = ．

又∵AD=5．

∴AD2+AF2=DF2，

∴△DAF為直角三角形．

∴∠DAF=90°．

∴AF是⊙D的切線．

（4）

解：如圖2所示：過點N作NP∥y軸，交BC與點P．

設BC的解析式為y=kx+4，將點B的坐標代入得：8k+4=0，解得k=﹣ ．

∴BC的解析式為y=﹣ x+4．

設N點坐標（a， a2﹣ a+4），則點P坐標為（a，﹣ a+4）．

∴NP=﹣ a+4﹣（ a2﹣ a+4）=﹣ a2+2a．

∴S△ABC=S△CPN+S△PBN= ×BO×PN= ×8×（﹣ a2+2a）=﹣（a﹣4）2+16．

∴當a=4時，S△ABC最大，最大值為16，此時，N（4，﹣2）．

【解析】解：（1）連接CD，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD．

∵DE⊥AB，
∴AE= AB=3．
∵⊙D與y軸相切，
∴DC⊥y軸．
∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，
∴四邊形OCDE為矩形．
∴OC=DE．
∵C（0，4），
∴DE=4．
在Rt△AED中，AD= =5．
∴⊙D的半徑為5．
∴D（5，4）．
所以答案是：（5，4），5．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關知識，掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．