Question

如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC²=AB•AD；
（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．
解答：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；

（2）證明：∵E為AB的中點，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×6=3，
∵AD=4，
∴，
∴．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．