Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分別是AD，BC的中點，若∠B與∠C互余，則MN與BC-AD的關系是（　　）

• A、2MN＜BC-AD
• B、2MN＞BC-AD
• C、2MN=BC-AD
• D、MN=2（BC-AD）

Answer 1

分析：由題意，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分別是AD，BC的中點，得MN與BC-AD的關系是：MN=

1

2

（BC-AD），先延長BA、CD，兩延長線相交于點P，連接PM、PN，首先根據已知條件和直角三角形的性質證明P、M、N三點共線，然后利用斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以證明結論．

解答：解：延長BA、CD，兩延長線相交于點P，
連接PM、PN，
∵∠B+∠C=90°
∴∠P=90°
∵AD∥BC
∴∠PAD=∠B，
而M，N分別是AD，BC的中點
∴AM=MP，BN=PN
∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM
∴∠APM=∠BPN
∴P、M、N三點共線
∵M是AD的中點，∠P=90°
∴PM=

1

2

AD
同理：PN=

1

2

BC
∵PN-PM=

1

2

（BC-AD）
∴MN=

1

2

（BC-AD）
∴2MN=BC-AD．
故選C．

點評：本題考查直角三角形的中線定義，關鍵要懂得：在一個直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題時還要注意選擇適宜的輔助線．