Question

（2007•開封）已知：如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求證：△CPB≌△AEB；
（2）求證：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1），（2）根據條件∠ABE=∠CBP，BE=BP，BC=AB，可證△CBP≌△ABE，所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，即PB⊥BE．
（3）連接PE，則BE=BP，∠PBE=90°，∠BPE=45°，設AP為k，利用題中的比例式和勾股定理可求得PE=2k，AE=3k，所以cos∠PAE==．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，（1分）
∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，
∴△CBP≌△ABE．

（2）證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE．
（1）、（2）兩小題可以一起證明．
證明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分）
=∠CBP+∠ABP
=90°（2分）
∴PB⊥BE．（3分）
以B為旋轉中心，把△CBP按順時針方向旋轉90°．（4分）
∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分）
∴△CBP與△ABE重合，
∴△CBP≌△ABE．（6分）

（3）解：連接PE，
∵BE=BP，∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，（7分）
設AP為k，則BP=BE=2k，
∴PE²=8k²，（8分）
∴PE=2k，
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，
∴∠APE=90°，（9分）
∴AE=3k，
在直角△APE中：cos∠PAE==．（10分）
點評：主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定及性質的運用．解題的關鍵是利用全等的性質得到相等的角或線段，用同一個未知數表示所求的線段即可求得所求的線段的比例即三角函數值．