Question

已知二次函數y=ax²+bx+c，一次函數y=k（x-1）-，若它們的圖象對于任意的實數k都只有一個公共點，則二次函數的解析式為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意由y=ax²+bx+c①，y=k（x-1）-②，組成的方程組只有一組解，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+c+k+=0，則△=（b-k）²-4a（c+k+）=0，整理得到（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0，由于對于任意的實數k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，求出a，b，c即可．
解答：解：根據題意得，
y=ax²+bx+c①，
y=k（x-1）-②，
解由①②組成的方程組，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+c+k+=0，
∵它們的圖象對于任意的實數k都只有一個公共點，則方程組只有一組解，
∴x有兩相等的值，
即△=（b-k）²-4a（c+k+）=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0，
由于對于任意的實數k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
∴a=1，b=-2，c=1，
所以二次函數的解析式為y=x²-2x+1．
故答案為：y=x²-2x+1．
點評：本題考查了用待定系數法求拋物線的解析式．二次函數的一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程組的解的情況確定函數圖象交點的問題，而方程組的解的情況轉化為一元二次方程根的情況．