Question

已知關于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使此方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根可知△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）＞0，求得k的取值范圍；
（2）可假設存在實數k，使得方程的兩個實數根x₁，x₂的倒數和為0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在．
解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）=12k+4＞0，且k≠0，
解得k＞-，且k≠0，
即k的取值范圍是k＞-，且k≠0；
（2）假設存在實數k，使得方程的兩個實數根x₁，x₂的倒數和為0，
則x₁，x₂不為0，且，
即，且，
解得k=-1，
而k=-1與方程有兩個不相等實根的條件k＞-，且k≠0矛盾，
故使方程的兩個實數根的倒數和為0的實數k不存在．
點評：本題主要考查了根的判別式的運用和給定一個條件判斷是否存在關于字母系數的值令條件成立．解決此類問題，要先假設存在，然后根據條件列出關于字母系數的方程解出字母系數的值，再把求得的字母系數值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在．