Question

如圖，直線AB過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B、C兩點，B點坐標為（1，1）．
（1）求直線和拋物線所表示的函數表達式；
（2）在拋物線上是否存在一點D，使得S_△OAD=S_△OBC？若不存在，說明理由；若存在，請求出點D的坐標，與同伴交流．

Answer 1

分析：（1）已知直線AB經過A（2，0），B（1，1），設直線表達式為y=ax+b，可求直線解析式；將B（1，1）代入拋物線y=ax²可求拋物線解析式；
（2）已知A，B，C三點坐標，根據作差法可求△OBC的面積，在△DOA中，已知面積和底OA，可求OA上的高，即D點縱坐標，代入拋物線解析式求橫坐標，得出D點坐標．

解答：解：（1）設直線表達式為y=ax+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的圖象上，
∴

0=2a+b 1=a+b

．
∴直線AB的表達式y=-x+2．
∵點B（1，1）在y=ax²的圖象上，
∴a=1，其表達式為y=x²．

（2）∵

y=x2 y=-x+2

，
解得

x=-2 y=4

或

x=1 y=1

，
∴點C坐標為（-2，4），設D（a，a²）．
∴S_△OAD=

1

2

|OA|•|y_D|=

1

2

×2•a²=a²．
∴S_△BOC=S_△AOC-S_△OAB=

1

2

×2×4-

1

2

×2×1=3．
∵S_△BOC=S_△OAD，
∴a²=3，
即a=±

3

．
∴D點坐標為（

3

，3），（-

3

，3）．

點評：本題考查了一次函數、二次函數解析式的求法，要求會用點的坐標表示三角形的面積，從而求出符合條件的點坐標．