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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

請閱讀下面材料：
若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴

y0=a

x

2

1

+bx1+c①

y0=a

x

2

+bx2+c②

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴x1+x2=-

b

a

又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

，
∴直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線x=

x1+x2

2

為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

請閱讀下面材料：
若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴

y0=a

x

21

+bx1+c①

y0=a

x

22

+bx2+c②

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴x1+x2=-

b

a

又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

，
∴直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線x=

x1+x2

2

為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值．

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科目：初中數學 來源：2010-2011學年江蘇省南通市如東縣九年級（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

請閱讀下面材料：
若A（x₁，y），B（x₂，y）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線

為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y），B（x₂，y）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴

又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為

，
∴直線

為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線

為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值．

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科目：初中數學 來源：2010-2011學年北京市西城區（北區）九年級（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

請閱讀下面材料：
若A（x₁，y），B（x₂，y）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線

為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y），B（x₂，y）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴

又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為

，
∴直線

為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線

為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值．

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科目：初中數學 來源：2012年福建省三明市初中數學質量檢查數學試卷（解析版） 題型：解答題

某公司今年欲投資A、B兩種新產品．信息部經過市場調研后得到二條信息：
信息一：如果單獨投資A種產品，所獲利潤y_A（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在某種關系的部分對應值，如表：

X（萬元）	1	2	2.5	3	5
y_A（萬元）	0.6	1.2	1.5	1.8	3

信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤y_B（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數關系：

，且投資1萬元時獲利潤1.6萬元，當投資2萬元時，可獲利潤2.8萬元．
根據以上信息請解答下面問題：
（1）根據所學過的函數（一次函數、二次函數、反比例函數），確定哪種函數能表示y_A與x之間的關系，并求出y_A與x的函數關系式；
（2）求出y_B與x的函數關系式；
（3）如果公司對A、B兩種產品共投資15萬元，并獲得利潤10.8萬元，求公司對A、B兩種產品的投資分別是多少萬元．

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