Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C₁，連接BB₁．設CB₁交AB于D，A_lB₁分別交AB、AC于E、F．
（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）當△BB₁D是等腰三角形時，求α；
（3）當α=60°時，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋轉的意義可證∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）當△BBD是等腰三角形時，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函數即可求得BD的長．
解答：解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以證△CBD≌△CA₁F為例：
證明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B₁BD=∠CBB₁-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=（180°-α），α=30°
由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°；

（3）作DG⊥BC于G，設CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD=x，
∵AC=BC=1，
∴x+x=1
∴x=，
∴DB=BG=x=×=．
點評：本題考查了全等三角形的判定，綜合應用直角三角形性質解直角三角形，進行邏輯推理能力和運算能力．