Question

（2013•吉安模擬）已知△ABC中，AB=AC，點O在△ABC的內部，∠BOC=90°，OB=OC，D、E、F、G分別是AB、OB、OC、AC的中點．
（1）求證：四邊形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AO并延長交BC于H，首先四邊形DEFG是平行四邊形，然后證得EF⊥DE，從而證得平行四邊形DEFG是矩形；
（2）根據△BOC是等腰直角三角形，求得BC和AH的長，利用三角形的面積計算公式求其面積即可．

解答：解：（1）連接AO并延長交BC于H，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的中垂線，即AH⊥BC于H，
∵D、E、F、G分別是AB、OB、OC、AC的中點，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∵EF∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥EF，DE∥AH，
∴EF⊥DE，
∴平行四邊形DEFG是矩形．

（2）∵△BOC是等腰直角三角形，
∴BC=2EF=2OH=2×3=6，
AH=OA+OH=2DE+EF=2×2+3=7，
∴S_△ABC=

1

2

×6×7=21．

點評：本題考查了中點四邊形及矩形的判定方法，中點四邊形是中考常考的題目之一，應重點掌握．