Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線y=（x-h）²+k，所得拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求h、k的值；
（2）判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使△AOM與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到h、k的值；
（2）根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，即可得到A、C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC、AD、CD的長(zhǎng)，然后再判斷△ACD的形狀；
（3）易求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到AB、AC、OA的長(zhǎng)；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若兩三角形相似，可考慮兩種情況：
①∠AOM=∠ABC，此時(shí)OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此時(shí)△AOM∽△ACB；
根據(jù)上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)∠BAC的度數(shù)求出M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=x²的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∴y=（x-h）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-1，-4），
∴h=-1，k=-4 （3分）

（2）由（1）得y=（x+1）²-4
當(dāng)y=0時(shí)，
（x+1）²-4=0
x₁=-3，x₂=1
∴A（-3，0），B（1，0）（1分）
當(dāng)x=0時(shí)，y=（x+1）²-4=（0+1）²-4=-3
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）
又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-1，-4）（1分）
作出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-1交x軸于點(diǎn)E
作DF⊥y軸于點(diǎn)F
在Rt△AED中，AD²=2²+4²=20
在Rt△AOC中，AC²=3²+3²=18
在Rt△CFD中，CD²=1²+1²=2
∵AC²+CD²=AD²
∴△ACD是直角三角形；

（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，則△AOC為等腰直角三角形，∠BAC=45°；
連接OM，過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AB于點(diǎn)G，
AC=

18

=3

2

①若△AOM∽△ABC，則

AO

AB

=

AM

AC

，
即

3

4

=

AM

3 2

，AM=

3×3 2

4

=

9 2

4

∵M(jìn)G⊥AB
∴AG²+MG²=AM²
∴AG=MG=

( 9 2 4 )2 2

=

81 16

=

9

4

OG=AO-AG=3-

9

4

=

3

4

∵M(jìn)點(diǎn)在第三象限
∴M（-

3

4

，-

9

4

）；
②若△AOM∽△ACB，則

AO

AC

=

AM

AB

，
即

3

3 2

=

AM

4

，AM=

3×4

3 2

=2

2

∴AG=MG=

AM2 2

=

(2 2 )2 2

=2
OG=AO-AG=3-2=1
∵M(jìn)點(diǎn)在第三象限
∴M（-1，-2）．
綜上①、②所述，存在點(diǎn)M使△AOM與△ABC相似，且這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（-

3

4

，-

9

4

），（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)；需注意的是（3）題在不確定相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的情況下要分類(lèi)討論，以免漏解．