Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC=BC，D為⊙O中上一點，延長DA至點E，使CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形性質求出∠CAB=∠CBA，∠E=∠CDE，根據∠CBA=∠CDA推出∠ECD=∠BCA，推出∠ECA=∠BCD，證△AEC和△BDC全等即可．
（2）根據等腰直角三角形性質求出∠ABC=45°，根據圓周角定理求出∠DCA=∠CBA=45°，根據三角形內角和定理求出∠F=45°，推出CF=CD，根據SAS證△ACF≌△BCD，推出AF=BD，根據勾股定理求出即可．
解答：證明：（1）在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD．

（2）的結論應該為AD+BD=CD
證明：作CF⊥CD，交DA的延長線于F，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴O在AB上，∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDA=∠CBA=45°，
∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA，
∴CF=CD，
∵∠FCD=∠ACB=90°，
∴∠FCA=∠BCD，
在△ACF和△BCD中
，
∴△ACF≌△BCD，
∴BD=AF，
∴AD+BD=AD+AF=DF，
在△DCF中，由勾股定理得：DF==CD．
點評：本題考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，三角形的內角和定理，勾股定理，等腰直角三角形性質，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，關鍵是根據題意證出△ACE≌△BCD，解題思路是求出證三角形全等的三個條件，題目比較典型，綜合性強．