Question

（2002•包頭）已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數根，且（m≠0，n≠0）．
（1）試求用m和n表示的式子；
（2）是否存在實數m和n，滿足使成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由一元二次方程的根與系數的關系得到x₁+x₂=-①，x₁x₂=②，由已知變形后代入①②，聯立方程，消去x，就可得到值．
（2）由于=成立，設出適當的參數，建立關于以m+n和mn為兩根的新的一元二次方程，求得其△的符號后，來判定根的情況后，決定是否存在m，n的值．
解答：解：（1）由題意得，x₁+x₂=-①，x₁x₂=②．
由=，得x₁=x₂③．
把③代入①，得x₂=-．
把③代入②得x²₂=．
消去x₂，得=．

（2）若=成立，
設（m+n）²=6k，mn=5k（k＞0）．
則m+n=±，mn=5k．
若m，n存在，應是方程x²±z+5k=0的根．
∵△=（±）²-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．
點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）x₁+x₂=-；
（5）x₁•x₂=．