Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一動點G以每秒1個單位的速度從點D出發至點B，以G為直角頂點作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．
（1）線段BD的長度是________；
（2）點G在運動過程中，求出矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時間t函數關系式及其自變量取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD===20，
故答案為：20．

（2）①如圖，當點E在AB上時，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴，
∴，
解得t=10，
∴當0≤t≤10時，
S=，
②如圖，當點F在BC上時，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
解得t=12.5，
∴當10＜t≤12.5時，
S=18-=，
③如圖，當點E、F均在矩形ABCD外側，
且EF與BD有交點時，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴，
∴，
令MG=x，則GK=6-x，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當12.5＜t≤（當t=時，EF過B點）時，
S=，
=，
④當EF與BD沒有交點時，
即＜t≤20時，
S=GM•GK==，
答：矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時間t函數關系式是s=18（0≤t≤10）或s=（10＜t≤12.5）或
S=（12.5＜t≤）或S=（＜t≤20）．
分析：（1）根據矩形的性質得到∠A=90°，根據勾股定理求出即可；
（2）有4種情況①當點E在AB上時，根據△BEG∽△BAD得出，求出t=10，當0≤t≤10時s=18；②當點F在BC上時，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，當10＜t≤12.5時，S=18-，③當點E、F均在矩形ABCD外側，且EF與BD有交點時，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出，令MG=x，則KG=6-x，，求出x，進一步求出t，當12.5＜t≤時，S=，④如圖，當EF與BD沒有交點時，即＜t≤20時，S=GM•GK，代入求出即可．
點評：本題主要考查對矩形的性質，相似三角形的性質和判定，三角形的面積，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度，用的數學思想是分類討論思想．