Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

3

4

x+6與x、y軸分別交于點A，點B，雙曲線的解析式為y=

k

x

（1）求出線段AB的長；
（2）在雙曲線第四象限的分支上存在一點C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求k的值；
（3）在（1）（2）的條件下，連接AC，點D為BC的中點，過D作AC的垂線EF，交AC于E，交直線AB于F，連AD，若點P為射線AD上的一動點，連接PC、PF，當點P在射線AD上運動時，PF²-PC²的值是否發(fā)生改變？若改變，請求出其范圍；若不變，請證明并求出定值．

Answer 1

分析：（1）首先求出圖象與坐標軸交點坐標，進而得出AO，OB的長，即可利用勾股定理求出AB的長；
（2）首先作CD⊥y軸于點D，求出∠BAO=∠CBD，再利用△ABO≌△BDC，進而得出C點坐標，即可得出k的值；
（3）首先連接FC交AP于M，利用△ABD≌△CBF（SAS），得出∠BAD=∠DCM，進而利用勾股定理求出PF ²-PC²=DF²-CD²，求出即可．

解答：解：（1）由y=

3

4

x+6與x、y軸分別交于點A，點B，
得：x=0時，y=6，y=0時，x=-8，
故A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，OB=6，
∴AB=

62+82

=10；

（2）作CD⊥y軸于點D，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∠CBO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BDC中，

∠BOA=∠BDC OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=6，BD=OA=8，
∴OD=BD-OB=8-6=2，
∴C（6，-2），
∴k=6×（-2）=-12；

（3）連接FC交AP于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠BDF=∠EDC=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠BDF=45°，
∴BD=BF，
∵在△ABD和△CBF中，

BF=BD ∠CBF=∠ABD BC=BA

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠DCM，
∴∠DMC=∠ABD=90°，
∴PF ²-PC²=（FM²+MP²）-（CM²+MP²）
=FM²-CM²
=（DF²-DM²）-（CD²-DM²）
=DF²-CD²，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD=5，
∴BF=5，
∴DF=

52+52

=5

2

，
∴PF ²-PC²=（5

2

）²-5²=25．

點評：此題主要考查了反比例函數綜合應用以及全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，根據已知得出△ABD≌△CBF是解題關鍵．