Question

已知二次函數y=-x²+4x-3
（1）求函數圖象的頂點坐標、對稱軸和圖象與坐標軸交點的坐標；
（2）在方格紙中建立適當的坐標系，并畫出函數的大致圖象；
（3）若圖象的頂點D，與x軸交于點A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C，在此圖象上是否存在點P，使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數解析式可求出頂點坐標，對稱軸及與坐標軸的交點；
（2）根據二次函數的頂點，對稱軸及與y軸的交點可畫出圖象；
（3）先求出S_△ABC，然后設點P坐標為（x，-x²+4x-3），討論當點P在x軸上方時，當點P在x軸下方時，分別列出等式，解出方程即可得出點P的坐標．
解答：解：（1）∵a=-1＜0，
∴拋物線開口向下；
對稱軸是直線x=-=2，=1，
故拋物線的頂點坐標為（2，1）；
令x=0，則y=-3；
令y=0，則-x²+4x-3=0，
故拋物線與坐標軸的交點是（0，-3），（3，0），（1，0）；

（2）函數圖象如圖所示：
；

（3）S_△ABC=××2×3=1，
假設存在點P，當點P在x軸上方時，

S_△ABP=S_△ABC=1，即AB×P_縱=1，
解得：P_縱=1，即可得此時點P的坐標為（2，1）；
當點P在x軸下方時，即可得AB×|-x²+4x-3|=1，即x²-4x+3=1，
解得：x₁=2+，x₂=2-，
則點P的坐標為（2+，-1）或（2-，-1）．
綜上可得P₁（2，1），P₂（2+，-1），P₃（2-，-1）
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了二次函數的頂點坐標及與坐標軸的交點問題，解答第三問的時候注意分類討論，運用方程思想解答，不要漏解．