Question

已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若S_△AOB=4，S_△COD=9，則四邊形ABCD的面積S_{四邊形ABCD}的最小值為（　　）

• A、21
• B、25
• C、26
• D、36

Answer 1

分析：分別表示出△AOD、△BOC的面積，即可得到四邊形ABCD的面積表達式，然后利用換元法結合不等式的性質來求得四邊形ABCD的最小面積．

解答：解：設點A到邊BD的距離為h．
如圖，任意四邊形ABCD中，S_△AOB=4，S_△COD=9；
∵S_△AOD=

1

2

OD•h，S_△AOB=

1

2

OB•h=4，
∴S_△AOD=OD•

4

OB

=4×

OD

OB

，S_△BOC=OB•

9

OD

=9×

OB

OD

；
設

OD

OB

=x，則S_△AOD=4x，S_△BOC=

9

x

；
∴S_{四邊形ABCD}=4x+

9

x

+13≥2

4x

•

9 x

+13=12+13=25；
故四邊形ABCD的最小面積為25．
故選B．

點評：此題主要考查了三角形面積的求法、不等式的性質等知識，需要識記的內容有：
不等式的性質：a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．（即算術平均數與幾何平均數的關系）