Question

（2000•海淀區）如圖，PC為⊙O的切線，C為切點，PAB是過O點的割線，CD⊥AB于點D，若，PC=10cm，求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，由弦切角定理知∠PCA=∠B，易證得△PCA∽△PBC，得PC：PB=AC：AB，而AC：AB正好是tanB，由此可求出PB的長，進而可由切割線定理求出PA的長，也就得到了AB的長；在Rt△ACB中，易證得∠ACD=∠B，那么tanB=tan∠ACD，由此可得CD=2AD，BD=2CD，即BD=4AD，聯立AD+BD=AB（AB的長已求得），即可得到AD、BD、CD的長，進而可由三角形的面積公式求出△BCD的面積．
解答：解法一：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB于點D，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∠ACD=90°-∠BAC=∠B．
∵tanB=，
∴tan∠ACD=，
∴．
設AD=x（x＞0），則CD=2x，DB=4x，AB=5x．
∵PC切⊙O于點C，點B在⊙O上，
∴∠PCA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB．
∴．
∵PC=10，
∴PA=5，
∵PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，
∴根據切割線定理：PC²=PA•PB，
∴10²=5（5+5x），
解得x=3，
∴AD=3，CD=6，DB=12．
∴S_△BCD=CD•DB=×6×12=36，
即△BCD的面積為36cm²，

解法二：同解法一，由△PAC∽△PCB得，
∵PC=10，
∴PB=20，
由切割線定理，得PC²=PA•PB，
∴PA=，
∴AB=PB-PA=15，
∵AD+DB=x+4x=15，
解得x=3；（x同證法一）
∴CD=2x=6，DB=4x=12，
S_△BCD=CD•DB=×6×12=36．
即△BCD的面積為36cm²．
點評：此題主要考查了圓周角定理、切割線定理、弦切角定理及相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用，能夠正確的構建出相似三角形，并發現PA、PB與tanB的關系是解答此題的關鍵．