Question

（2009•天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：AB=AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°，再根據線段的垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可證明；
（2）結合（1）中的結論，可以證明△ABC是等邊三角形，即可求得AC的長，再根據銳角三角函數即可計算DE的長．
解答：（1）證明：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）解：∵∠BAC=60°，
由（1）知AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．
在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=8，
∴BD=4，即DC=4．
又∵DE⊥AC，
∴DE=DC•sinC=4•sin60°=4×=2．
點評：本題考查了圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質以及等邊三角形的判定．