Question

設C₁，C₂，C₃，…為一群圓，其作法如下：C₁是半徑為a的圓，在C₁的圓內作四個相等的圓C₂（如圖），每個圓C₂和圓C₁都內切，且相鄰的兩個圓C₂均外切，再在每一個圓C₂中，用同樣的方法作四個相等的圓C₃，依此類推作出C₄，C₅，C₆，…，則
（1）圓C₂的半徑長等于

 

（用a表示）；
（2）圓C_k的半徑為

 

（k為正整數，用a表示，不必證明）

Answer 1

分析：（1）連接AB、BC、CD、AD，AC，設小圓的半徑是r，根據圓與圓相切，得到AC=2a-2r，根據正方形的性質和勾股定理得到AC=2

2

r，推出方程2a-2r=2

2

r，求出即可；
（2）求出r=（

2

-1）a，r₃=（

2

-1）r=(

2

-1)2a，r₄=(

2

-1)3，得出圓C_k的半徑為r_k=（

2

-1 ）^k-1 a即可．

解答：（1）解：連接AB、BC、CD、AD，AC，
設小圓的半徑是r，
根據圓與圓相切，
∴AC=2a-2r，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
由勾股定理得：AC=2

2

r，
∴2a-2r=2

2

r，
解得：r=（

2

-1）a，
故答案為：（

2

-1）a．

（2）解：由（1）得：r=（

2

-1）a，
同理圓C₃的半徑是r₃=（

2

-1）r=(

2

-1)2a，
C₄的半徑是r₄=(

2

-1)3，
…
圓C_k的半徑為r_k=（

2

-1 ）^k-1 a，
故答案為：r_k=（

2

-1 ）^k-1 a．

點評：本題主要考查對正方形的性質和判定，勾股定理，相切兩圓的性質等知識點的理解和掌握，能根據計算結果得出規律是解此題的關鍵．