Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一動直線l從y軸出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點P，以OP為半徑的⊙P與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B．設直線l的運動時間為t秒．

（1）填空：當t=1時，⊙P的半徑為        ，OA=        ，OB=        ；

（2）若點C是坐標平面內一點，且以點O、P、C、B為頂點的四邊形為平行四邊形．

①請你直接寫出所有符合條件的點C的坐標；（用含t的代數式表示）

②當點C在直線y=x上方時，過A、B、C三點的⊙Q與y軸的另一個交點為點D，連接DC、DA，試判斷△DAC的形狀，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；2；2。

（2）①符合條件的點C有3個，分別為C₁（t，3t）、C₂（－t，t）、C₃（t，－t）。

②△DAC是等腰直角三角形。理由見解析

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理、等腰直角三角形的性質求解。

（2）①本問關鍵是畫出符合條件的圖形，總共有3種情況，符合條件的點C有3個，如圖1，

連接PA，

∵∠AOB=90°，由圓周角定理可知，AB為圓的直徑，點A、P、B共線。

∵圓心P在直線y=x上，∴∠POA=∠POB=45°。

又∵PO=PA=PB，∴△POB與△POA均為等腰直角三角形。

設動直線l與x軸交于點E，

則有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）。

∵OBPC₁為平行四邊形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，

∴C₁（t，3t）。

同理可求得：C₃（t，－t）。

∵OPBC₂為平行四邊形，且PB=PO，∠OPB=90°，

∴OPBC₂為正方形，其對角線OB位于y軸上，則點P與點C₂關于x軸對稱。

∴C₂（－t，t）。

∴符合條件的點C有3個，分別為C₁（t，3t）、C₂（－t，t）、C₃（t，－t）。

②正確作出圖形，找到線段CD與AD之間的關聯，這就是Rt△DCE∽Rt△ADO，通過計算可知其相似比為1，即兩個三角形全等，從而得到CD=AD，△DAC為等腰直角三角形。本問符合條件的點C有2個，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示。

△DAC是等腰直角三角形。理由如下：

當點C在第一象限時，如圖2，連接DA、DC、PA、AC，

由（2）可知，點C的坐標為（t，3t），

由點P坐標為（t，t），點A坐標為（2t，0），點B坐標為（0，2t），可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形。

又PO=PB，進而可得△OPB也是等腰直角三角形，

則∠POB=∠PBO=45°。

∵∠AOB=90°，∴AB為⊙P的直徑。

∴A、P、B三點共線。

又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°。

∴∠ABC=180°－∠CBE－∠PBO=90°。∴AC為⊙Q的直徑。∴DA⊥DC。

∴∠CDE+∠ADO=90°。

過點C作CE⊥y軸于點E，則有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE。

∴Rt△DCE∽Rt△ADO，∴，即，解得OD=t或OD=2t。

依題意，點D與點B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t。

∴，即相似比為1，此時兩個三角形全等，則DC=AD。

∴△DAC是等腰直角三角形。

當點C在第二象限時，如圖3，同上可證△DAC也是等腰直角三角形。

綜上所述，當點C在直線y=x上方時，△DAC必為等腰直角三角形。