Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點為C，頂點為M，直線CM的解析式y=-x+2并且線段CM的長為，
（1）求拋物線的解析式．
（2）設拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），且點A在B的左側，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線CM的解析式求出點C的坐標，再設點M的坐標為（x，-x+2），再根據勾股定理列出表示出CM，然后得到方程求解即可得到點M的坐標，然后設拋物線頂點式解析式為y=a（x+2）²+4，把點C的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標，然后根據數軸上的兩點間的距離列式進行計算即可得解．
解答：解：（1）令x=0，則y=2，
所以，點C（0，2），
∵點M在直線y=-x+2上，
∴設點M的坐標為M（x，-x+2），
由勾股定理得CM==2，
整理得，x²=4，
解得x₁=2，x₂=-2，
當x₁=2時，y₁=-2+2=0，
當x₂=-2，y₂=-（-2）+2=4
∴M（-2，4）或 M（2，0），
當M（-2，4）時，設拋物線解析式為y=a（x+2）²+4，
∵拋物線過點C（0，2），
∴a（0+2）²+4=2，
解得a=-，
∴y=-x²-2x+2，
當M（2，0）時，設拋物線解析式為y=a（x-2）²，
∵拋物線過點C（0，2）點，
∴a（0-2）²=2，
解得a=，
∴y=x²-2x+2，
∴所求拋物線為：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2；

（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴y=x²-2x+2不合題意，舍去．
∴拋物線應為：y=-x²-2x+2，
令y=0，則-x²-2x+2=0，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2，x₂=-2-2，
∵點A在B的左側，
∴點A（-2-2，0），B（-2+2，0），
∴AB=（-2+2）-（-2-2）=4．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數解析式，利用勾股定理求直線上兩點間的距離，拋物線與x軸的交點問題，難點不大，仔細分析便不難求解．